${\displaystyle y^n}$について微分

${\displaystyle y=f(x)}$ であるとき，${\displaystyle y^n}$ を${\displaystyle x}$ について微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}{y}^n=n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}}$

となる．${\displaystyle y}$ が具体的な関数として表わされていないので${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を用いている．

■導出

${\displaystyle z=y^n}$

とおき

${\displaystyle z=y^n}$

           ${\displaystyle y=f(x)}$

の合成関数と考える．合成関数の導関数より

${\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}·\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}}$

(∵ ${\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{d}{dy}{y}^n=n{y}^{n-1}}$ 　ここを参照)

となる．したがって

${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}{\displaystyle log\left|y\right|}}=\frac{1}{y}·\frac{dy}{dx}}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年9月3日